Январь 22nd, 2010 | 
admin1. Определите период колебаний малых колебаний математического маятника длиной 15 см, подвешенного к потолку вагона, движущегося с ускорением 5 м/с2.
Решение:
Период колебаний математических маятника
T = 2π√(l/aрез),
где a − результирующее ускорение, равное векторной сумме
aрез = a + g.
В нашем случае вектора a и g перпендикулярны друг другу a ⊥ g. Тогда результирующее ускорение определим по теореме Пифагора
aрез = √(a2 + g2).
Период колебаний
T = 2π√(l/√(a2 + g2)),
Вычислим
T = 2 × π × √(0,15/√(52 + 102)) = 0,73 c
Ответ: T = 0,73 c.
Задача хорошая, но представленное решение, математически правильное, не раскрывает физический смысл задачи, зато использует какой-то нестандартный термин "результирующее ускорение". Что это? Неужели нельзя дать объяснение решения без терминологических фокусов? Т.е., согласно этому объяснению, если тело просто покоится на столе, значит у него есть "результурующее ускорение" свободного падения? Такие примеры решения не помогают ученику понять физический смысл задачи, а учат формально подставлять в готовые формулы похожие по названию параметры. Ну если бы определить термин "результирующее ускорение" как ускорение свободного падения в неинерционной системе координат, в которой точка подвеса маятника неподвижна (или движется равномерно и прямолинейно), тогда ссылаясь на аналогию, можно обосновать применение формулы для маятника.
Кстати, вот задача на подобную тему.
На колеблющуюся массу маятника посадили электрический заряд, а всю плоскость под маятником зарядили электрическим зарядом с однородной поверхностной плотностью. По какой формуле сейчас можно определять параметры колебания?
Я бы предложил для решения задачи с плоскосью воспользоваться методом зеркальных изображений (в случае назаряженной проводящей плоскоси) − в электростатике он основан на следующем свойстве эквипотенциальной поверхности (поверхности равного потенциала): если заменить эквипотенциальную поверхность в произвольном электростатическом поле проводящей поверхностью той же формы и создать на ней тот же потенциал, то электростатическое поле не изменится.
В случае заряженной плоскости: поле однородно и определено, а значит и сила действия на заряженный шарик, вопрос в направлениях, и общем результате действия земного поля и электрического.
Например, для положительно заряженной плоскости. При отклонении маятника на угол α из положения равновесия результирующая действующих на маятник сил mg и Fэл направлена к положению равновесия.
По второму закону Ньютона
ma = −(mg + Eq)sinα.
Ускорение a = l(α)//, где (α)// − вторая производная угла α по времени.
Учитываем, что для малых углов sinα ≈ α, получаем диффернциальное уравнение вида
mlα// = −(mg + Eq)sinα,
которое и описывает гармонические колебания с циклической частотой
ω = √{(mg + qE)/(ml)}.
Период колебаний
T = 2π/ω = 2π√{ml/(mg + qE)} = 2π√{l/(g + qE/m)}.
На базовом уровне таких задач не решают, но спрофильниками, тем более олимпиадниками, такие задачи и теория разбираются.
Согласен с Вашим решением. Добротное решение для студентов, изучающих физику с использованием дифференциального исчисления. В американских колледжах такие курсы физики называют Calculus-Based Physics. А что делать в тех классах, где физику изучают на основе алгебры? Тем не менее в этих курсах физики дают формулы и для периода колебаний математического маятника:
T = 2π√{l/g}.
Как помочь студенту на основе этой формулы хотя бы без строгих математических доказательств но на основе физической интуиции сделать предположение об пероде колебания, когда к силе тяжести добавлена ещё одна сила, в данном случае электростатическая?
Перепишем формулу
T = 2π√{l/g}
в виде
T = 2π√{(lm)/(gm)},
где m − это масса, и тогда в формуле можно уже использовать другие физические параметры:
T = 2π√{(lм)/(gм)} = 2π√{(lм)/(Ф)},
где Ф − сила притяжения, действующая на шарик.
В простом случае − это Вес (W), а если к весу добавляется дополнительная сила qE, то нужно на место Ф поставить модуль их векторной суммы
T = 2π√{(lм)/|W+qE|}.
А если исходную формулу переписать так:
T = 2π√{(l2m)/(lgm)},
то уже на ее основе можно находить период колебания маятника на твердой спице в состав которого входят дополнительные инерционные элементы, например, твердый прикреплённая к спице стержень, служащий осью вращения, с достаточно большим моментом инерции, влиянием которого не период колебаний нельзя пренебречь.
Я смотрю, редактирование формата: верхние-нижние индексы, выделение − не работают.
1. В базовом классе такие задачи не решаются.
2. В профильном и профильном физмат классе я так объясняю
Изменение координаты, скорости, ускорения для малых колебаний математического маятника
Проекция возвращающей силы сообщает маятнику ускорение. Максимальное ускорение
где
тогда
Для случая с постоянной дополнительной силой (электрической, например)
С учетом (1)
где g* − «эффективное» g.
4. Олимпиадники решают дифференцируя.
3. Чтобы форматирование имело место нужно переключить режим формата ввода в Full HTML, для обычного пользователя этот режим отключен во избежание хлама, спама, рекламы и т.д. мне проще самому за пользователя переключить, чем потом вычищать.